Vectores: 8 ejercicios con solución detallada

 

Ejercicio 1 

Vectores en el plano

Dado el vector v = 3 i + 5 j, se pide:

a) Dibujarlo sobre el plano cartesiano

b) Hallar su módulo

c) Calcular su dirección

d) Encontrar el vector unitario en la dirección de v.

Solución a

Gráfica del vector v realizada con Geogebra.

Solución b

La magnitud del vector se calcula a través de:

Solución c

La dirección es el ángulo θ que forma el vector con el eje +x, dada por:

Solución d

El vector unitario se calcula mediante:

Ejercicio 2 

Suma de vectores en el plano

Dados los vectores:

v = −3 i + 3 j

u = −4 i + 3 j

w = i + 5 j

t = −3 i + j

Hallar su suma:

a) Gráficamente

b) Analíticamente

Solución a

El vector suma S se encuentra gráficamente por el método del polígono, teniendo en cuenta que el orden de los sumandos no altera la suma, ya que esta es conmutativa.

Solución b

v = −3 i + 3 j

u = −4 i + 3 j

w =   i  + 5 j

                 t = −3 i + j              +

-----------------------------------

      S = −9 i +12 j

Ejercicio 3 

Producto entre un escalar y un vector

Sea el vector v = 4 i + 6 j. ¿Cuál es el vector u cuya magnitud es tres veces mayor a la de v? Encuentre las magnitudes de v y u.

Solución 

u = 3v = 3 (4 i + 6 j) = 12 i + 18 j

La magnitud de v se encuentra mediante la fórmula:

La magnitud de u es el triple, por lo tanto:

u = 3√52

Como se observa del gráfico, ambos vectores tienen la misma dirección. Dado que α = 3, el vector u tiene el mismo sentido que v, y su magnitud es tres veces mayor.

Ejercicio 4 

Producto escalar de dos vectores

Dos vectores u y v tienen magnitudes respectivas de u = 5.0 y v = 10.2 unidades, formando entre sí un ángulo de ϕ = 37º. Calcular su producto escalar.

Solución 

Aplicando la definición de producto escalar:

u • v = u∙v∙cos ϕ = 5.0 × 10.2 × cos 37º = 39.0

Ejercicio 5 

Producto escalar de dos vectores

Dados los siguientes vectores:

u = 3 i + 4 j + 8 k

v = −2 i − j + 5 k

 

Hallar:

a) El módulo de cada uno

b) Su producto escalar

c) El ángulo entre los vectores

a) 

Solución a

El módulo de cada vector se calcula a través de la fórmula:

Solución b

Dado que los vectores están representados en términos de los vectores unitarios i, j y k, se emplea la fórmula:

u • v = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

u • v = 3 × (−2) + 4 × (−1) + 8 × 5 = −6 −1 + 40 = 33

Solución c

Para encontrar el ángulo ϕ entre los vectores, hay que recurrir a las dos fórmulas que se tienen para el producto escalar, la primera es la definición:

u • v = u∙v∙cos ϕ

La segunda es la que se dedujo en el apartado anterior, cuando se conocen los vectores en términos de los vectores unitarios i, j y k:

u • v = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

Las dos expresiones son equivalentes y se igualan:

u • v = u∙v∙cos ϕ = (u_x v_x) + (u_y v_y) + (u_z v_z)

De aquí se despeja cos ϕ:

Sustituyendo valores:

ϕ = arccos 0.6386 = 50.3º

Ejercicio 6 

Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores:

v = 4 i −5 j + 2 k

u = i + 6 j − 3 k

Calcular su producto cruz.

Solución 

Resolviendo los determinantes indicados, se obtiene:

v × u = 

[(−5) × (−3)−2 × 6] i − [4 × (−3)−2 × 1] j + [4 × 6−(−5) × 1] k = [15 − 12] i − [−12 − 2] j + [24 + 5] k  = 3 i +14 j + 29 k

Ejercicio 7 

Producto vectorial de dos vectores

Suponga que los vectores v y u del ejercicio anterior forman dos de los lados de un paralelogramo. ¿Cuál es el área de dicho paralelogramo?

Solución

El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial entre los vectores v y u:

v × u = 3 i +14 j + 29 k

El módulo del vector w = v × u viene dado por:

Por lo tanto, el valor numérico del área es 32.3 unidades de área.

Ejercicio 8 

Vectores en el espacio

Encontrar el ángulo entre los vectores a y b mostrados en la siguiente figura:

Solución

El primer paso es expresar los vectores en términos de sus componentes cartesianas. En el dibujo mostrado, se puede fijar el origen (0,0,0) en la esquina mostrada en verde y a partir de allí, expresar los vectores en términos de sus componentes. Desde luego, el origen se podría haber fijado en cualquier otro punto.

De acuerdo a esta elección, el vector a, en color azul, tiene su origen en el punto (0,0,4) y su punto de llegada en (0,6,0), por lo tanto, sus componentes se determinan restando la coordenada final y la coordenada inicial, como se muestra:

a_x = 0 – 0 = 0

a_y = 6 – 0 = 6

a_z = 0 – 4 = – 4

Entonces, a se puede escribir como:

a = 0 i + 6 j – 4 k

Por su parte, el vector b en color rojo, también tiene su origen en el punto (0,0,4) y su punto de llegada en (5,6,4). Entonces, sus componentes son:

b_x = 5 – 0 = 5

b_y = 6 – 0 = 6

b_z = 4 – 4 = 0

Por lo que se puede escribir como:

b = 5 i + 6 j + 0 k

Para determinar el ángulo ϕ entre ellos, se hará uso de la definición de producto escalar de dos vectores:

a • b = a∙b∙cos ϕ

De acuerdo a esto, se despeja cos ϕ:

Enseguida se calcula el producto escalar entre los vectores:

a • b = (a_x b_x) + (a_y b_y) + (a_z b_z)

a • b = 0 × 5 + 6 × 6 + (–4 × 0) = 0 +36+0 = 36

El siguiente paso es calcular los módulos de cada vector:

Al sustituir en el despeje del coseno, queda:

Y a través del arco coseno de este valor, resulta:

ϕ = 50.3º

Equilibrio con diagramas de cuerpo libre

Aunque normalmente se piensa en el equilibrio como una situación estática y carente de movimiento, lo cierto es que un cuerpo puede tener velocidad y aun así estar en equilibrio, solo que, en tal caso, el equilibrio será dinámico, mientras que cuando su velocidad es nula, el equilibrio es estático.  

Estas rocas apiladas cerca de la costa son un buen ejemplo de equilibrio estático. Aunque no son partículas, sino objetos con tamaño apreciable, se las puede modelar como tales y obtener información sobre cómo las fuerzas que actúan sobre ellas las mantienen en equilibrio. Fuente: Pexels.

En cualquiera de los dos casos, siempre y cuando se trabaje con el modelo de partícula, la condición para el equilibrio es: 

Lo cual significa que la suma (vectorial) de todas las fuerzas externas sobre el objeto se anula. En tal caso, el diagrama de cuerpo libre es muy útil para determinar cómo se disponen estas fuerzas. 

Para que el diagrama resulte útil, es preciso: 

1.- Identificar correctamente el cuerpo cuyo equilibrio se quiere estudiar. 

2.- Seleccionar un sistema de coordenadas apropiado, cuyo origen se hace coincidir con el objeto en cuestión. 

3.- Dibujar correctamente todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Normalmente el peso siempre está presente y está dirigido verticalmente hacia el suelo, pase lo que pase, a menos que se especifique lo contrario, como, por ejemplo, cuando se diga expresamente que el objeto es liviano o ligero. 

4.- Recabar toda la información numérica disponible acerca de dichas fuerzas: módulo, dirección y sentido de cada una. 

Una vez realizados estos pasos, se aplica la ecuación mostrada y, mediante procedimientos algebraicos, se calculan los valores de las incógnitas solicitadas. Las fuerzas pueden estar aplicadas en una dimensión, en dos dimensiones y en tres dimensiones y, en cualquier caso, es preciso operar correctamente con vectores, ya que la fuerza es una cantidad vectorial. 

Ejemplo de equilibrio en una dimensión 

 

Se cuelgan dos masas m1 = 5 kg y m2 = 8 kg de las cuerdas livianas, homogéneas e inextensibles mostradas en la figura, de manera que el sistema está en equilibrio estático. ¿Cuáles son las tensiones en cada cuerda? La cuerda DC es capaz de soportar una tensión máxima de 140 N, ¿a partir de qué valor de m2 romperá la cuerda? 

Solución 

Los respectivos diagramas de cuerpo libre para cada masa se muestran en la figura de arriba, en la cual se observa que todas las fuerzas están dirigidas verticalmente, algunas hacia arriba y otras hacia abajo. Se le asigna el signo + a las fuerzas que apuntan hacia arriba, y signo — a las que apuntan hacia abajo.

Dichas fuerzas son las siguientes:

Sobre m1 

• TCD (rojo)
• W1 (naranja)
• TBA (verde)

Sobre m2 

• TAB (verde)
• W2 (morado)

Nótese que las tensiones TAB y TBA tienen la misma magnitud: 

TBA = TAB 

Enseguida se aplica la segunda ley de Newton a cada masa: 

Puesto que el peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad, se tiene: 

• W1 = 5 kg × 9.8 m/s2 = 49.0 N 
• W2 = 8 kg × 9.8 m/s2 = 78.4 N 

De la segunda ecuación se deduce fácilmente que: 

TAB = W2 = 78.4 N 

Mientras que de la primera: 

TCD = TAB + W1 

TCD = 78.4 N + 49.0 N = 127.4 

Puesto que este valor es menor a 140 N, la cuerda CD no se rompe, para que eso suceda, hagamos TCD exactamente igual a 140 N, dejando fijo el valor de m1 y despejando TAB en ese caso: 

TAB = TCD – W1 = 140 N — 49.0 N = 91 N 

Y se sustituye este valor en la segunda ecuación, para despejar W2: 

W2 = TAB = 91 N 

Como W2 = m2g= 91 N, entonces: 

m2 = 91 N/9.8 m/s2 = 9.3 kg

Entonces, al colgar una masa de 9.3 kg o mayor, la cuerda CD se romperá. 

 

Ejemplo de equilibrio en dos dimensiones 

 

¿Cuáles son las magnitudes de las tensiones en las cuerdas livianas para que el motor de la figura se mantenga suspendido en equilibrio? El aro A por el que pasan las cuerdas también es liviano. 

Solución 

 

El motor puede considerarse como una partícula suspendida en equilibrio estático a través de la cuerda AC. En tal caso, esta soporta un peso de 2452 kN (se lee ‘kilo newton’), y la tensión a través de ella será igual a este valor. Las tensiones en las cuerdas AD y AB serán diferentes, para hallarlas, se requiere el diagrama de cuerpo libre en el aro liviano A (ver el post diagramas de cuerpo libre pinchando en el enlace): 

La tensión TD se encuentra a lo largo del eje horizontal en sentido negativo y se le asigna signo —, entonces se puede escribir: 

TD = TDx 

No está demás insistir en el hecho de que un vector se denota con letra negrita, mientras que su magnitud, que es un escalar, se denota con letra común. 

Por su parte, la tensión TB está en el plano xy y tiene dos componentes, que por trigonometría elemental, son: 

• TBx = TB × cos 30o = 0.87 TB 
• TBy = TB × sen 30o = 0.50 TB 

La ecuación: 

Es vectorial, lo cual significa que, en el caso de dos dimensiones, se desglosa en dos ecuaciones: 

Esto conduce al siguiente sistema de ecuaciones: 

• TBx — TDx = 0 
• TBy — 2452 = 0 

De esta última es inmediato deducir que: 

TBy = 2452 kN 

Y puesto que TBy = 0.50 TB, se concluye que: 

TB = 2452 kN / 0.5 = 4904 kN  

Mientras que de TBx — TDx = 0, se desprende que: 

TDx = TBx 

Por lo tanto: 

TDx = 0.87 TB = 0.87× 4904 kN = 4266.5 kN 

Solución alternativa mediante el teorema de Lamy 

 

Las tres fuerzas del diagrama de cuerpo libre del anillo son coplanares y concurrentes, por lo tanto, el teorema de Lamy se puede aplicar para determinar sus magnitudes. El teorema dice así: 

Donde A, B y C son las magnitudes de las fuerzas que se muestran en la figura siguiente, mientras que α, β y γ son los respectivos ángulos entre cada una de las fuerzas: 

Tres fuerzas coplanares y concurrentes, a las cuales se puede aplicar el teorema de Lamy. Fuente: Wikimedia Commons.

Comparando cuidadosamente esta figura con la del diagrama de cuerpo aislado del aro a través del cual pasan las cuerdas, se llega a la siguiente conclusión: 

• A = TD 
• B = TB 
• C = 2452 kN 
• α = 120o 
• β = 90o 
• γ = 150o 

Entonces: 

Importante: en ambas soluciones se utilizaron los valores sen 30º = 0.5; cos 30º= 0.87, téngase presente que las calculadoras ofrecen más decimales para el coseno de 30º y que, por lo tanto, los resultados pueden variar ligeramente. La persona que lleva a cabo los cálculos es quien decide cuántos decimales necesita tomar. 

Por F. Zapata